Warum ändert sich die Schallgeschwindigkeit mit der Temperatur?

Eine Schallwelle ist eine kleine Druckstörung, die sich durch ein Gas fortbewegt, indem Moleküle mit ihren Nachbarn zusammenstoßen. Ein verdichteter Bereich drückt die Moleküle daneben, diese drücken die nächsten, und so weiter. Wie schnell sich die Störung ausbreiten kann, hängt also davon ab, wie schnell sich die Moleküle selbst zwischen den Stößen bewegen. Die kinetische Gastheorie verknüpft das direkt mit der Temperatur: Die mittlere Geschwindigkeit eines Gasmoleküls ist proportional zur Quadratwurzel der absoluten Temperatur geteilt durch die Molekülmasse. Bei 20 °C bewegt sich ein Stickstoffmolekül im Mittel mit rund 500 m/s; die Schallwelle, die von der geordneten Komponente dieser Zufallsbewegung getragen wird, breitet sich mit etwa 343 m/s aus, einem festen Anteil der Molekülgeschwindigkeit.

Es liegt nahe anzunehmen, dass dünne Luft in großer Höhe Schall anders leitet, doch die Rechnung zeigt, dass dies nicht so ist. Die Schallgeschwindigkeit entspricht der Quadratwurzel aus der Steifigkeit geteilt durch die Dichte. Niedrigerer Druck macht die Luft weniger steif, aber auch weniger dicht, und die beiden Effekte heben sich genau auf. Was bleibt, ist das Verhältnis von Druck zu Dichte, das bei einem idealen Gas einfach der Gaskonstante mal der Temperatur entspricht. In der Praxis bedeutet das, dass sich eine Schallwelle auf einem Gipfel in 4.000 m Höhe mit derselben Geschwindigkeit ausbreitet wie eine im Tal, wenn beide dieselbe Temperatur haben; der Gipfel ist nur deshalb langsamer, weil es dort meist kälter ist.

Die Temperatur dominiert, aber auch die Masse der Moleküle spielt eine Rolle. Helium ist leicht, daher breitet sich Schall in Helium bei Raumtemperatur mit etwa 1.000 m/s aus, weshalb eine Stimme nach dem Einatmen hoch klingt: Der Stimmtrakt schwingt bei höheren Frequenzen. Wasserdampf, mit einer Molekülmasse von 18 gegenüber dem Luftdurchschnitt von 29, hat einen kleineren Effekt: gesättigte Luft bei 30 °C leitet Schall etwa 0,5 % schneller als trockene Luft. Für die Luftfahrt ist das gegenüber dem Temperaturterm vernachlässigbar, weshalb Machzahl-Berechnungen in einem Air Data Computer nur die statische Temperatur verwenden. Das erklärt auch, warum die Schallgeschwindigkeit an der Tropopause, −56,5 °C in der Standardatmosphäre, 295 m/s beträgt, rund 13 % unter dem Meereshöhenwert an einem Normtag, und warum die Mach-Grenze eines Flugzeugs einer geringeren wahren Fluggeschwindigkeit entspricht, je höher und kälter es fliegt.